El problema es que al final, los sites no cargaban, sólo páginas en blanco.
Encontré este link:
http://reviews.myhken.com/upgrading-php-from-5-3-x-to-5-4-x-or-5-5-x-on-centos-6-5-with-virtualmin/
Y aunque funciona bien parcialmente, el problema es que los sites corriendo como php_mod ya no funcionaban.
Lo resolví así:
Renombré /etc/httpd/conf.d/php.conf como php.conf.no tal como decían en el link.
Pero en su lugar copié php.conf de otro servidor que aún tenía php 5.3:
#
# PHP is an HTML-embedded scripting language which attempts to make it
# easy for developers to write dynamically generated webpages.
#
LoadModule php5_module modules/libphp5.so
LoadModule php5_module modules/libphp5-zts.so
#
# Cause the PHP interpreter to handle files with a .php extension.
#
AddHandler php5-script .php
AddType text/html .php
#
# Add index.php to the list of files that will be served as directory
# indexes.
#
DirectoryIndex index.php
#
# Uncomment the following line to allow PHP to pretty-print .phps
# files as PHP source code:
#
#AddType application/x-httpd-php-source .phps
Y nada más, ya no modifiqué /etc/httpd/conf/httpd.conf para quitar las líneas que empezaran por php_ (ni reemplazándolas por #php_).
Aparentemente todo el problema es causado por las líneas SetHandler del nuevo archivo php.conf.
Con esta configuración, funciona PHP 5.4 con cualquiera de los tres modos: mod_php, cgi o fcgi.
De todos modos, la instalación de Moodle la tuve que hacer con el modo CGI:
https://moodle.org/mod/forum/discuss.php?d=221196